Control para pacientes con enfermedades infecciosas:enfoque epidemiológico

Abstract

Las enfermedades infecciosas son parte de nuestra vida diaria y han sido determinantes en eventos historicos, moldeando así nuestra sociedad. Tal es el caso de la conquista de América, donde millones de nativos murieron luchando en contra de un puñado de invasores españoles, en parte gracias a la viruela que acarreaban los europeos y a la que estos eran prácticamente inmunes [11]. En la actualidad las enfermedades infecciosas son una de las principales causas de muerte en el mundo [29] y representan un grave problema para las regiones afligidas, debido a que tiene efectos negativos en su economía, por lo que las personas no afectadas directamente por la enfermedad sufren algunas de sus consecuencias. El modelado matematico proporciona un mejor entendimiento en la manera que se comporta y se propaga una enfermedad y también permite establecer estrategias de control. Una estrategia de control óptima a un problema epidémico ayudaría a un mejor manejo de los medicamentos, que resultaría en una disminución del desabasto de medicamento, también ayudaría en un mejor manejo de recursos económicos que pueden ser destinados al combate de otras enfermedades u otros sectores de la sociedad, así como un manejo más adecuado de la calidad de vida del paciente [33][34]. Una estrategia de control común a los sistemas biomédicos es el control impulsional, en donde la entrada de control no es continua, si no que se administra en instantes definidos de tiempo. Esto se puede relacionar a la manera en que históricamente se han administrado medicamentos a pacientes con distintos padecimientos, a los que se les indica la ingesta o aplicación de medicamentos cada determinado tiempo. Un problema con el modelado matemático, es que puede complicarse mucho el análisis, debido a que los modelos epidemiológicos y los modelos de sistemas reales, iii en general, no son sencillos. Las redes neuronales artificiales suponen una solución a este problema, puesto que son capaces de replicar el comportamiento de un sistema no lineal con un grado de error despreciable conociendo unicamente las entradas y salidas del sistema. El uso de redes neuronales artificiales aplicadas a sistemas de control y sus beneficios están bien documentados [2]. Por otro lado, las redes complejas representan una herramienta útil para el estudio de las epidemias. Las redes complejas se basan en la teoría de grafos que surgió en el siglo XVIII y su desarrollo formal se dió en la decada de 1950. El enfoque de redes complejas asume que distintas entidades interactúan entre si. Por lo tanto, es posible aplicar esto al estudio de los modelos epidemiológicos ya que así es como se propagan las enfermedades, con la interacción de diversos individuos. Los objetivos de esta tésis son diseñar un identificador neuronal a un modelo epidemiológico Susceptible-Infectivo-Recuperado (SIR), y a partir de los estados identificados del sistema, sintetizar una ley de control impulsional con el fin de llevar el nivel de infectivos lo mas cercano a cero. Además, establecer un modelo en redes complejas con nodos de dinámica SIR, y aplicar un control tipo pin para la red esperando llevar el nivel de infectivos de todos los nodos lo mas cercano a cero. Adicionalmente, se propone una red con dinámicas caóticas distintas a manera de benchmark y se aplica un control impulsional tipo pin para mostrar su posible extensión a diversos tipos de sistemos no lineales. La identificación neuronal se realizará con una red neuronal recurrente de alto orden discreta entrenada con filtro de Kalman extendido. Debido al uso de la red neuronal discreta se discretizará también el modelo dinámico de la red compleja y el modelo SIR para homogeneizar. El control impulsional para el modelo SIR tanto por si solo como en red compleja es como fue desarrollado en [9], y el control para la red compleja con dinámicas caóticas distintas es un controlador proporcional. Los resultados de la propuesta serán obtenidos por medio de simulaciones de computadora. Esta tesis se estructura de la siguiente manera. En el Capítulo 1 se abordan distintos modelos epidemiológicos a grandes rasgos, y se analiza mas a detalle el modelo SIR. En el Capítulo 2 se describen las redes complejas, tanto algunas de sus propiedades como su modelo dinámico. En el Capítulo 3 se tratan las redes iv neuronales recurrentes de alto orden, además, su entrenamiento con filtro de Kalman extendido y su uso como identificadores. En el Capítulo 4 se presenta la propuesta realizada y los resultados de las simulaciones, además de una prueba de control impulsional a una red compleja con nodos caóticos. Finalmente, se establecen las conclusiones, el trabajo futuro, y se incluye la lista de publicaciones emanadas del trabajo de investigación desarrollado en esta tésis.